一、矩阵正交的定义
矩阵相互正交是两个向量正交，两个向量正交是指它们的内积等于零，两个向量的内积是它们对应分量的乘积之和
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。 扩展资料
在三维向量空间中， 两个向量的内积如果是零， 那么就说这两个向量是正交的。正交最早出现于三维空间中的`向量分析。 换句话说， 两个向量正交意味着它们是相互垂直的。若向量α与β正交，则记为α⊥β。
1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4、A的列向量组也是正交单位向量组；
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
二、什么是正交矩阵
如果：AA'=E（E为单位矩阵，A'表示“矩阵A的转置矩阵”。）或A′A=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵
例如：
1 0 1 0
矩阵A： 0 1 A的转置： 0 1 此时 AA'=E
故A本身是正交矩阵
由于AA'=E 由逆矩阵定义 若AB=E 则B为A的逆矩阵 可以知道 A'为A的逆矩阵
也就是说正交矩阵本身必然是可逆矩阵
即
若A是正交矩阵则A的n个行（列)向量是n维向量空间的一组标准正交基【即线性不相关】
扩展资料
在矩阵论中，正交矩阵（orthogonal matrix）是一个方块矩阵Q，其元素为实数，而且行与列皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵为其逆矩阵。
作为一个线性映射（变换矩阵），正交矩阵保持距离不变，所以它是一个保距映射，具体例子为旋转与镜射。
行列式值为+1的正交矩阵，称为特殊正交矩阵，它是一个旋转矩阵。
行列式值为-1的正交矩阵，称为瑕旋转矩阵。瑕旋转是旋转加上镜射。镜射也是一种瑕旋转。
参考资料：百度百科-正交矩阵
三、何谓正交矩阵？它有哪些性质？
定义
1
n阶实矩阵
a称为正交矩阵，如果：a×a′=e（e为单位矩阵，a'表示“矩阵a的转置矩阵”。）
若a为正交阵，则下列诸条件是等价的:
1)
a
是正交矩阵
2)
a×a′=e（e为单位矩阵）
3)
a′是正交矩阵
4)
a的各行是单位向量且两两正交
5)
a的各列是单位向量且两两正交
6)
(ax,ay)=(x,y)
x,y∈r
正交矩阵通常用字母q表示。
举例：a=[r11
r12
r13;r21
r22
r23;r31
r32
r33]
则有：r11^2+r12^2+r13^2=r21^2+r22^2+r23^2=r31^2+r32^2+r33^2=1
r11*r12+r21*r22+r31*r32=0等性质
正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
四、正交矩阵定义和性质
正交矩乘
正交矩阵
还是正交矩阵，但是正交矩阵相加相减不一定还是正交矩阵。
正交矩阵的每一个行(列)向量都是模为1的，并且任意两个行(列)向量是正交的，即所有的行(列)向量组成R^n的一组
标准正交基
。正交矩阵每个元素绝对值都小于等于1，如果有一个元素为1，那么这个元素所在的行列的其余元素一定都为零。
扩展资料：
注意事项：
由于向量组内向量均不为0，只需要在等式两边随便乘上一个向量即可，假设乘的是a1。由于与其他向量两两正交，所以其他项全为0。
由于a1不为0，那么必然不为0，要使得
等式成立
，只能是λ1为0。也就是说向量a，在
规范正交基
下某一个维度的坐标，
等于和整个维度的正交
基向量
的
内积
。
参考资料来源：
百度百科
-正交矩阵
五、什么是正交矩阵，和实对称矩阵有什么不同？
正交矩阵的定义：如果AAT=E（E为单位矩阵，AT表示“矩阵A的转置矩阵”）或ATA=E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵。
正交矩阵和实对称矩阵的区别：
1、实对称矩阵的定义是：如果有n阶矩阵A，其各个元素都为实数，矩阵A的转置等于其本身，则称A为实对称矩阵。
2、正交变换e在规范正交基下的矩阵是正交矩阵，满足U*U’=U’*U=I
对称变换e在规范正交基下的矩阵是对称矩阵，满足A’=A
3、 转换矩阵是正交矩阵不代表被转换矩阵一定是实对称矩阵 反过来 实对称矩阵的相似对角化也不一定非要正交矩阵。
扩展资料：
正交矩阵的性质：
1、方阵A正交的充要条件是A的行(列) 向量组是单位正交向量组。
2、 方阵A正交的充要条件是A的n个行(列)向量是n维向量空间的一组标准正交基。
3、A是正交矩阵的充要条件是:A的行向量组两两正交且都是单位向量。
4、 A的列向量组也是正交单位向量组。
实对称矩阵的性质：
1.实对称矩阵特征值为实数。
2..实对称矩阵一定有N个线性无关的特征向量。
3..实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交。
参考资料来源：百度百科-正交矩阵
参考资料来源：百度百科-实对称矩阵
六、什么叫正交矩阵
正交矩阵是方块矩阵，行向量和列向量皆为正交的单位向量。
行向量皆为正交的单位向量，任意两行正交就是两行点乘结果为0，而因为是单位向量，所以任意行点乘自己结果为1。
对于3x3正交矩阵，每行是一个3维向量，两个3维向量正交的几何意义就是这两个向量相互垂直。
所以3x3正交矩阵的三行可以理解为一个3D坐标系里的三个坐标轴，下面是3＊3正交矩阵M，
x1，x2，x3，／／x轴y1，y2，y3，／／y轴z1，z2，z3，／／z轴
单位矩阵表示的三个坐标轴就是笛卡尔坐标系里的x，y，z轴：
1，0，0，／／x轴0，1，0，／／y轴0，0，1，／／z轴
一个向量乘以3x3正交矩阵的几何意义就是把这个向量从当前坐标系变换到这个矩阵所表示的坐标系里，比如下面的矩阵M1，
0，1，0，1，0，0，0，0，1，
一个向量（1，2，3）右乘这个矩阵M1得到新的向量（2，1，3），就是把原向量从原坐标系变换到一个新的坐标系。
新坐标系的x轴在原坐标系里是（0，1，0），即落在原坐标系的y轴上，
新坐标系就是把原坐标系的x和y轴对调，所以这个正交矩阵M1作用于向量（1，2，3）后把向量的x和y分量对调了。
正交矩阵的定义“行向量和列向量皆为正交的单位向量”带来了另一个好处：正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆，比普通矩阵求逆矩阵简单多了。
下面解释一下为什么正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆：
还是开头说的正交矩阵M：
x1，x2，x3，／／rowxy1，y2，y3，／／rowyz1，z2，z3，／／rowz
每行都是单位长度向量，所以每行点乘自己的结果为1。
任意两行正交就是两行点乘结果为0。
矩阵M的转置矩阵MT是：
x1，y1，z1，x2，y2，z2，x3，y3，z3，
两个矩阵相乘Mmul＝M＊MT：
rowx＊rowx，rowx＊rowy，rowx＊rowz，rowy＊rowx，rowy＊rowy，rowy＊rowz，rowz＊rowx，rowz＊rowy，rowz＊rowz，
点乘自己结果为1，点乘别的行结果为0，所以Mmul等于单位矩阵
1，0，0，0，1，0，0，0，1，
逆矩阵的定义就是逆矩阵乘以原矩阵等于单位矩阵，所以，
正交矩阵的转置就是正交矩阵的逆。
扩展资料
正交矩阵定义：
如果：AA＇＝E（E为单位矩阵，A＇表示“矩阵A的转置矩阵”．）或A′A＝E，则n阶实矩阵A称为正交矩阵，若A为单位正交阵，则满足以下条件：1）A是正交矩阵。
判断是正交矩阵的方法：
一般就是用定义来验证，若AA' = I,则A为正交矩阵，也就是验证每一行(或列)向量的模是否为1
任意两行(或列)的内积是否为0。
