矩阵对角化是什么意思
我用自己的语言说，希望能方便你明白
矩阵对角化源自于线形变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系（当然你看下去会发现不知道也可以）
设一线性变换a，在基m下的矩阵为A，在基n下的矩阵为B，m到n的过度矩阵为X，
那么可以证明：B=X'AX
（X'是X的转置，注意X是满秩的）
那么定义：A，B是2个矩阵
如果存在可逆矩阵X，满足B=X'AX
，那么说A与B是相似的（是一种等价关系）。
如果存在可逆矩阵X使A相似与一个对角矩阵B，那么说A可对角化。
相应的，如果线性变换a在基m下的矩阵为A，并且A相似于对角矩阵B，那么另X为过度矩阵即可求出基n，并且在n下线性变换a的矩阵为对角矩阵，从而达到了化简。
矩阵对角化有什么好处吗？为什么要对角化呢？（举个栗子吧😄）
矩阵对角化的目的
就是为了化简方阵的计算
特别是得到对角线矩阵之后
进行若干次方的计算
就方便了很多，即A=PΛP^-1
就可以得到A^n=PΛ^n P^-1
研究矩阵的相似对角化的意义
理论上看，意义是明显的。相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式，特征根，行列式……如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作没有区别的，这时研究一个一般的可对角化的矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。这个过程相当于在一个等价类中选取最顺眼的元素研究。
另外，对角化突出了矩阵的特征值，而过度矩阵T反映了特征向量的信息，对角化过程的直观意义还是很明显的。再结合正交矩阵的概念，可以得到一些不平凡的结论，例如实对称矩阵总可以对角化。
实践中的矩阵对角化作用也很大。别的不说，比如要算一个一般的3阶实对称矩阵A的n次幂，n较大时，按矩阵乘法定义去计算是相当繁琐的，计算复杂度呈指数型增长。但是如果把A可以对角化(实对称矩阵总是可以对角化的)，写为=T^(-1)PT,P是对角阵。那么A^n=T^(-1)P^nT,P^n的计算是很简单的，只要把各特征值^n即可，此时计算A^n的复杂度几乎与n无关。
以上纯属个人见解，仅供LZ参考:)
矩阵对角化
不是实对称的矩阵对角化时，只需要求得的P为可逆矩阵即可。矩阵的对角化就相当于 原矩阵与 对角阵相似，使得Q=P^-1*A*P，P只需是可逆的即可。实对称矩阵有什么性质呢？那就是矩阵的转置和原矩阵相等，也即Q^T=Q，那么求得的矩阵P必满足：P的转置等于P的逆。只有正交矩阵满足此性质。因此也有：实对称矩阵必可对角化！
什么叫对角化
对角化这个概念是针对矩阵而言的，并且矩阵的对角化源自于线性变换的化简，所以最好先知道线性变换和线性变换与矩阵的对应关系。
设M为元素取自交换体K中的n阶方阵，将M对角化，就是确定一个对角矩阵D及一个可逆方阵P，使M=PDP-1。设f为典范对应于M的Kn的自同态，将M对角化，就是确定Kn的一个基，使在该基中对应f的矩阵是对角矩阵。
对角矩阵是指只有主对角线上含有非零元素的矩阵，即，已知一个n×n矩阵 ，如果对于 ，则该矩阵为对角矩阵。如果存在一个矩阵 ，使 的结果为对角矩阵，则称矩阵 将矩阵 对角化。对于一个矩阵来说，不一定存在将其对角化的矩阵，但是任意一个n×n矩阵如果存在n个线性不相关的特征向量，则该矩阵可被对角化
